Langage

Dès que l'on s'aventure dans le post-secondaire mathématique, l'on se voit confronté au langage des structures algébriques: corps, anneaux, champs (et j'en passe). La raison peut sembler difficile à trouver pour tout ce foissonnement de termes, mais c'est finalement parce que le champ des mathématiques s'est élargi et qu'il faut des concepts pour comparer les choses. Une structure algébrique est un ensemble (a set, ein Menge); donc, va comporter des membres dénombrables mais pas nécessairement finis.

 

 

Considérons, en exemple, les entiers naturels: 1, 2, 3 ... auxquels on ajoute souvent le zéro 0. En anglais, Wikipédia nous apprend qu'un natural number n'a 'no addition inverse' (il y a un 3, mais pas un -3) et que ces nombres forment ainsi 'a commutative halfring'. Même histoire sur le Wiki allemand, qui remarque que les Naturlich Zahlen forment 'ein Kommutativer Halbring', et auquel un lien ajoute que le prime exemple d'un semi-anneau serait
l'algèbre de Boole. Voici dons une notion fondamentale pour tout le codage en informatique.

Les entiers relatifs (integers, Ganze Zahlen) -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 forment un anneau et servent à dénombrer. L'élément neutre pour l'addition est le 0, pour la multiplication 1, et l'inverse additif de n devient -n.

Les nombres réels représentent, en mathématiques, une série de nombres. Il s'agit d'une
prolongation de la série des nombres rationnels, le pont, à l'aide duquel les nombres pour
l'importance de certaines dimensions physiques comme par exemple, l'étendue, la température ou la masse peuvent être connus en termes réels. Les  nombres réels opnt aussi, à l'encontre des nombres
rationnels, des propriétés topologiques. Ceci veut dire que, dans d'autres circonstances, pour chaque problème d'état, dans un sens jugé pertinent, il existera d'autres solutions sous forme de nombre réels,
enfin qu'il y a toujours une solution réelle exacte. Il devient possible de transiter vers l'analyse, la topologie et la géométrie. De la même manière, l'étendue ou la superficie de plusieurs espèces d'objets géométriques prendra la forme de nombres réels, que l'on ne pourrait concevoir avec les seuls nombres rationnels. Donc pour les sciences empiriques, les concepts mathématiques - tel l'étendue -
pour en arriver à une description adéquate, jouera alors la théorie des nombres réels un rôle important.

Mais ils ne possèdent pas d'inverse multiplicatif (3 mais pas 1/3). Cet honneur revient aux nombres rationnels, qui font partie des réels. La commutativité est très importante; en fait son absence est centrale à la notion de message pour l'ingénieur car le message a une direction.