La preuve qui suit est celle offerte par le mathématicien Euler, et qui se retrouve
en début du célèbre article de Bernard Riemann dans lequel il propose sa conjecture
sur la répartition des nombres premiers. Effectivement, c'est une petite trouvaille
de la part de Euler qui s'applique aux nombres réels. Pour tout nombre réel s,
la relation suivante entre l'addtition et la multiplication tient.
La preuve si-bas, tirée du Wikipédia anglophone, aura servi à Euler pour expliquer la relation.
On transforme progressivement la série de fractions de manière à faire dispartaître les termes sur des chiffres non-premiers. Quand le tout vaut 1, on divise par le nouveau co-efficient pour obtenir la série multiplicative à droite. Très ingénieux.
Riemann se demande ce qui se passerait dans le cas s nombre complexe ie
un nombre réel plus un nombre imaginaire. Dans les applications actuelles,
un exposant complexe sur une valeur d'angle décrit une fonction harmonique
sur le plan d'Argand.
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