GrosseFille: janvier 2012

jeudi 12 janvier 2012

tiré de Wikipédia, ALGEBRAIC STRUCTURE, Simple English
traduction GrosseFille

Structures algébriques

Pour des fins mathématiques, on considère qu’une strucure algébrique
se compose d’un ensemble avec une, deux ou plusieurs opérations
permises.

Les structures de base à une opération binaire sont les suivantes:

〮Semi-groupe
Un ensemble avec une opération, elle-même associative.

〮Monoïde
Un semi-groupe auquel on a ajouté un élément identité.

〮Groupe
Un monoïde pour lequel chaque élément possède un inverse.

〮Groupe commutatif
Un groupe pour lequel l’opération s’avère commutative.

Les structures algébriques de base à deux opérations sont les suivantes:

〮Anneau
Un ensemble permettant deux opérations, notées communément
addition et multiplication. Pour l’addition, il s’agit d’un groupe
commutatif; pour la multiplication, un simple semi-groupe. (Certains
définissent l’ensemble en régime de multiplication, comme monoïde).
Dans un anneau, la multiplication distribue l’addition.

〮Anneau commutatif
Un anneau au sein duquel la multiplication est commutative.

〮Champs
Un anneau commutatif où l’ensemble multiplicatif forme un groupe.

Quelques exemples :

〮Les entiers naturels ( zéro compris), pour l’addition (ainsi que la multiplication)
forment un monoïde, mais non un groupe.

〮Les entiers, avec addition forment un groupe commutatif pour l’addition,
mais un simple monoïde pour la multiplication.

〮Les entiers avec addition et multiplication, forment un anneau commutatif,
mais pas un champs.

〮Les nombres rationnels, les réels et les nombres complexes, munis de l’addition
simple et de la multiplication simple, sont des champs.